Depois de 80 anos, o método de Erdős ganha upgrade

Em 1947, o matemático húngaro Paul Erdős provou que uma certa rede de conexões existia sem mostrar uma única vez como construí-la. Ele olhou para todas as redes possíveis, escolheu uma ao acaso e mostrou que a chance de ela ter a propriedade que ele queria era maior que zero. Ponto. O Número de Ramsey é a medida que indica o tamanho máximo que uma rede de conexões pode alcançar antes que um clique monocromático apareça obrigatoriamente. O método probabilístico é essa técnica: usar a probabilidade de encontrar um objeto ao acaso para provar que ele existe, mesmo sem saber quase nada sobre a forma dele. Se você trabalha com matemática discreta, ciência de dados ou qualquer área que dependa de provas de existência, esse é um dos raciocínios mais citados da sua formação, e ele acabou de ganhar o primeiro upgrade relevante em cinco décadas.

O que aconteceu

Erdős usou o método probabilístico para estimar os chamados números de Ramsey: o tamanho máximo que uma rede pode ter antes que apareça, obrigatoriamente, um grupo de pontos todos conectados pela mesma cor (um “clique monocromático”). Ele mostrou que, ao proibir cliques de tamanho k, o número de Ramsey correspondente tem que ser maior que aproximadamente $\sqrt{2}^k$. A prova tinha poucas linhas e foi, segundo o matemático Joel Spencer da NYU, “surpreendente”: ninguém tinha usado aleatoriedade daquele jeito antes.

O problema é que, para os chamados números de Ramsey diagonais e quase-diagonais (quando os cliques proibidos nas duas cores têm tamanhos parecidos), a estimativa de Erdős ficou praticamente intocada por oitenta anos. Em 2026, um trio da Universidade Tsinghua, na China, formado pelo estudante de pós-graduação Wujie Shen, o professor Jie Ma e o também estudante Shengjie Xie, publicou uma prova que melhora essa estimativa usando geometria de esferas em alta dimensão. É o primeiro avanço em cinquenta anos para os números de Ramsey quase-diagonais.

Como um estudante sem experiência na área resolveu o que ninguém resolvia

Shen não tinha formação em teoria de Ramsey. Ele vinha estudando geometria e topologia quando se interessou por um artigo sobre o tema. A ideia dele foi trocar a moeda de Erdős (cara ou coroa, cada aresta vira vermelha ou azul) por um sorteio geométrico: posicionar cada ponto da rede ao acaso na superfície de uma esfera de alta dimensão e colorir cada conexão de acordo com a distância entre os pontos sorteados.

Isso funciona porque esferas em dimensões altas se comportam de um jeito contraintuitivo: têm volume pequeno, superfície enorme, e a maior parte dos pontos se concentra perto do “equador”. Como há pouco espaço de sobra, fica mais difícil formar um grupo grande de pontos todos distantes entre si, o que reduz a chance de um clique vermelho aparecer. A contrapartida é que a chance de um clique azul aparecer aumenta, e por um bom tempo isso pareceu anular qualquer ganho.

O que este avanço específico ensina sobre progresso científico

Depois de um ano de trabalho e 40 páginas de cálculo, o trio publicou o resultado em julho de 2025: eles melhoraram a estimativa de Erdős, mas só quando os cliques proibidos numa cor são visivelmente maiores que na outra. Quando os dois tamanhos ficam parecidos (o caso diagonal clássico), o ganho da nova técnica desaparece.

Ainda assim, quando os cliques vermelhos proibidos têm cerca de metade do tamanho dos azuis, o trio conseguiu aumentar a taxa de crescimento de Erdős de $((\sqrt{5} + 1)/2)^k$ para $((\sqrt{5} + 1)/2 + 10^{-21})^k$. O número parece ridículo de pequeno. É esse tipo de fração mínima que empurra um problema parado há décadas, e e é nesse tipo de caso que fica visível algo importante: o valor do resultado não está no tamanho do salto, está em reabrir uma pergunta que a comunidade já tratava como fechada..

Isso tem paralelo direto com o que eu vejo em quem está montando um projeto de pesquisa. Na minha experiência, contribuição original não é sinônimo de “resolver tudo de uma vez”. É por isso que o Método V.O.E. (Velocidade, Organização, Execução Inteligente) trabalha a delimitação do problema como etapa central: um recorte pequeno e bem provado vale mais do que uma promessa grande e vaga. O trio de Tsinghua não tentou resolver o caso diagonal inteiro. Resolveu a fatia que dava para resolver, e documentou exatamente onde a técnica para de funcionar.

Vale notar também que o avanço não veio de quem “dominava” o campo. Veio de alguém de fora, que trouxe uma ferramenta de outra área (geometria) para um problema que a área de origem (combinatória) já considerava exaurido. Foi alguém de fora do campo, com ferramentas de outra área (geometria), que ajudou a destravar um problema que a matéria descreve como parado havia décadas.

Próximos passos

Se você trabalha com matemática discreta, teoria dos grafos ou áreas próximas, valem três movimentos concretos:

1. Leia o artigo original para entender a construção geométrica linha a linha, principalmente a parte sobre perpendicularidade das retas em alta dimensão, que é o cerne técnico da prova.
2. Acompanhe os desdobramentos: em dezembro de 2025, Benny Sudakov e dois orientandos já simplificaram o modelo de coloração do trio chinês, e outros grupos estenderam a ideia para problemas com três cores.
3. Se você orienta ou está sendo orientada, use este caso como argumento concreto contra a ideia de que só quem “já é especialista” traz contribuição relevante a um campo.

Este caso também mostra como um avanço relevante pode nascer longe dos holofotes, num grupo de pesquisa e numa publicação que a maior parte do público nunca vê. Se você quer entender melhor como a produção científica se movimenta em outros contextos internacionais, vale ler China: da medicina milenar à liderança farmacêutica global.

Fonte: After 80 Years, Mathematicians Give Famed Erdős Method an Upgrade, Quanta Magazine